Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:

• Ảnh liên tục của một không gian compact là compact.
• Tập con đóng của không gian compact là compact.
• Cho f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} là song ánh liên tục. Nếu X {\displaystyle X} là compact và Y {\displaystyle Y} là Hausdorff, thì f {\displaystyle f} là đồng phôi.
• Không gian con compact của không gian Hausdorff là đóng.
• Định lý giá trị cực trị: một hàm trị thực liên tục trên một không gian compact có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
• Hội hữu hạn những tập compact là compact.
• Định lý Tychonoff: tích của một họ các không gian compact là compact.

Đặc trưng của tính compact

Một không gian là compact nếu và chỉ nếu mỗi họ các tập đóng với tính chất giao hữu hạn có giao khác rỗng.

Không gian Euclide

Với tập con A {\displaystyle A} của không gian Euclide R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , những tính chất sau là tương đương:

1. A {\displaystyle A} là compact.

2. Mỗi dãy trong A {\displaystyle A} có dãy con hội tụ.

3. A {\displaystyle A} là đóng và bị chặn (định lý Heine-Borel).

Không gian metric

• Cho phủ mở của không gian metric compact, thì có một số ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} sao cho quả cầu bán kinh ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} chứa trong một thành phần của phủ mở. (số Lebesgue)
• Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mỗi dãy có dãy con hội tụ.